| Автор | Конкурс для любителей занимательной математики |
|---|
Создаю данную тему ввиду модной тенденции в ГВД проводить конкурсы))) Главный приз 50 000 золота от спонсоров, его получит человек первый решивший 3 задания из множества предложенных, промежуточные призы будут для каждого из предложенного задания.
1.Задание
Итак тот кто первый справится с заданием получит в подарок 5000 золота и приблизится на один шаг к главному призу.
Задание:
Найти все решения уравнения в натуральных числах x^3 - y^2 = 2 (именно все и доказать что других не существует) |
| свои решения можно опубликовывать прямо здесь, либо присылать в ЛП |
| [Сообщение удалено смотрителем rose25 // ] |
Для Qwainos
Уважаемый вы темой не ошиблись? В рулетку не играю. |
| Сейчас придет Герцогиня и забанит ТС. У нас типа за вознаграждение помогать низя.) Хотя может прокатит, как конкурс. |
| Это не помощь и доказательством я естественно располагаю сам для особо недоверчивых смотрителей могу скинуть ссылочку в ЛП по первому требованию |
| [Сообщение удалено смотрителем rose25 // ] |
| [Сообщение удалено смотрителем rose25 // предупреждение] |
| [Сообщение удалено смотрителем rose25 // заканчиваем флуд] |
для Qwainos
Уважаемый, не хотелось бы вступать с вами в перепалку ибо тема создана не для этого, но считаю нужным ответить вам, для того чтобы развеять сомнения у остальных:
1. смотрите пост 6
2. Это задание олимпиадного типа, более того решение этого задания известно уже более 200 лет. |
| Да в душе я так и остался "Школотой", но только в хорошем смысле этого слова, ибо с теплотой вспоминаю те времена когда сам учавствовал в олимпиадах по математике и физике, а по факту мне 26 лет, я живу в городе Новосибирск, и тружусь в сфере IT уже много лет. |
| [Сообщение удалено смотрителем rose25 // ] |
| 50 000 золота от спонсоровдля TooRock: |
Для TooRock
А вы решите задачу и проверьте... хотя я думаю кроме умения делать скоропалительные выводы, и писать много букв не по теме, сильно затруднит вам задачу. |
| пока вижу одно решение х=3, у=5 и ясно, что х и у одинаковой четности |
| задача не школьная ибо требует некоторое понимание теории чисел. если никто не знает, я выложу решение |
х ^ 3 - у ^ 2 = 2
(3,5) и (3, -5)
доказательства того, что (3,5)и (3, -5) являются единственными целочисленных решений х ^ 3 - у ^ 2 = 2. Он использует
арифметика в кольце Z [SQRT (-2)]
Z [SQRT (-2)] является однозначным разложением, и его только единицы
1 и -1. Запись
X ^ 2 = х 2 + 2 = (у + SQRT [-2]) * (у - SQRT [-2])
Обратите внимание, что НОД (у + SQRT [-2], у-SQRT [-2]) | 2 * SQRT [-2]. Теперь следует
от уникальных факторизации и тот факт, о единицах, что для некоторых
z в Z [SQRT (-2)],
у + SQRT (-2) = z ^ 3 и z ^ 3 * SQRT (-2) и z ^ 3 * (-2)
Принимая комплексно-сопряженные, имеем
у - SQRT (-2) = W ^ 3 или W ^ 3 * SQRT (-2) или W ^ 3 * (-2)
где со сопряженных от z. Следовательно, умножая их вместе,
х ^ 3 = х 2 + 2 = (z * w) ^ 3 или -2 * (z * w) ^ 3 или 4 * (z * w) ^ 3
С w * z в Z, уникальные факторизации в Z означает, что
у ^ 2 + 2 = (z * w) ^ 3,
и
у + SQRT (-2) = z ^ 3
у - SQRT (-2) = W ^ 3
Пусть теперь z = V + U * SQRT (-2), причем u и V в Z. Тогда W = U -
V * SQRT (-2), и
y + sqrt(-2) = u^3 + 3*u^2*v*sqrt(-2) - 6*u*v^2 - 2*v^3*sqrt(-2)
y - sqrt(-2) = u^3 - 3*u^2*v*sqrt(-2) - 6*u*v^2 + 2*v^3*sqrt(-2)
Вычитая второе из первого,
2*sqrt(-2) = 6*u^2*v*sqrt(-2) - 4*v^3*sqrt(2)
1 = 3*u^2*v - 2*v^3
1 = v*(3*u^2-2*v^2)
Это означает, что у = 1 или -1, и это легко увидеть, что только
решения у = 1, u = 1 или -1. Затем
x = w*z = 3
y = u^3 - 6*u*v^2
= u*(u^2-6*v^2)
= -5*u
= 5 or -5 |
для Аваллакх:
Эээ, свистнуть откуда-то решение по-аглицки и закинуть в переводчик - не метод... лично я в самом начале перестал понимать, поскольку пропала связь слов :) |
для Аваллакх
Ну естественно решение правильное так как взято с мат форума на английском языке, но перевод крайне корявый так как переводился автопереводчиком, естественно я выплачу обещанные деньги прямо сейчас и зачту автору эту задачу ибо не оговаривал никаких условий, но поменяю слегка правила для следующих задач. Вторая задача и уточнения к правилам конкурса будет выложена через некоторое время |
для ПсинаАдская:
из переписки с автором темы
# От: Материалист
# Кому: Аваллакх
# Тема: Re(3): Конкурс для любителей занимательной математики
Не поленитесь перевести на русский переработать в удобоваримый вид и выложить в теме и деньги ваши
# Ответить
# Назад
История:
# Дата: 2010-05-14 08:54:14
# От: Аваллакх
# Кому: Материалист
# Тема: Re(2): Конкурс для любителей занимательной математики
http://mathforum.org/library/drmath/view/51569.html
в этой ссылке все есть
# Дата: 2010-05-14 08:53:16
# От: Материалист
# Кому: Аваллакх
# Тема: Re: Конкурс для любителей занимательной математики
Итак ваше решение и доказательство что других нет?
# Дата: 2010-05-14 08:33:36
# От: Аваллакх
# Кому: Материалист
# Тема: Конкурс для любителей занимательной математики
Все ответы можно найти в инете и будет конкурс "кто быстрее умеет пользоваться поисковыми системами".
зы. x^3-y^2=2 решение нашел в первой ссылке гугла |
