| Автор | Конкурс для любителей занимательной математики |
|---|
для Аваллакх
"Не поленитесь перевести на русский переработать в удобоваримый вид и выложить в теме и деньги ваши"
Вы явно поленились))) но я сам виноват. Учту в следующей задаче. |
для Аваллакх:
Да, я погуглить поленился :-) |
| Какой интересный конкурс. А для чего? |
| Итак деньги выплачены первый победитель есть, хоть и не все как я ожидал но это опять же моя вина. Вторая задача будет не так проста. И от Автора будет требоваться понимание того что он написал, |
перепишем:
y^2+2=x^3
(y+i*sqrt(2))(y-i*sqrt(2))=x^3
(такое разложение единственно, ибо в кольце Z[sqrt(2)] оно всегда единственно!)
предположим (y+i*sqrt(2)) и (y-i*sqrt(2)) имеют общий множитель. возьмем норму обоих частей. норма этого общего множителя будет делителем х^3, что невозможно, ибо тогда х^3 будет содержать множитель в четной степени.
т.о. (y+i*sqrt(2)) и (y-i*sqrt(2)) - взаимно просты. значит каждый из них должен быть кубом в кольце Z[sqrt(2)]. тогда
(y+i*sqrt(2))=(n+m*i*sqrt(2))^3=(n^3-6n*m^2)+(3n^2*m-2m^3)*i*sqrt(2)
что дает нам 2 уравнения:
y=n^3-6n*m^2
3n^2*m-2m^3=1
дальше - простая арифметика (напомню, n и m из Z). получаем n=+-1 и m=+-1, что дает x=3 и y=+-5.
ключевой момент - единственность разложения на множители в кольце Z[sqrt(2)] |
для TooRock
Как я говорил)) вместо того чтобы элементарно скопировать ссылку в гугл, вы предпочли пустится в пространные рассуждения об обманах и школоте... |
| ооо! мну опередили :) |
| Я с превеликим удовольствием отдал бы первый приз ax4. Но еще раз повторюсь сам поторопился с темой и с правилами. |
ждемс..
2ую задачу) |
для Материалист:
Как я говорил)) вместо того чтобы элементарно скопировать ссылку в гугл, вы предпочли пустится в пространные рассуждения об обманах и школоте...
То есть изначально "конкурс" предполагал простой "гуглеж" решения? Ну и какой же тогда интерес в его проведении?
А на рассуждения об обманах и школоте натолкнуло именно весьма посредственное оформление конкурсного задания, схожие вещи здесь появляются регулярно и авторы подавляющего большинства их - ленивые школьники. |
для Материалист:
все норм 5к мну не спасут :))) а я вспомнил 3й курс и получил удовольствие :)
а в будущем лучше наверное выкладывать менее известные задачи. пусть они будут не такие красивые, но имхо это добавит интереса |
для ax4
Вы абсолютно правы)) |
| Кстати эта задача имеет другое решение без использования теории комплексного переменного, погуглив немного, в явном виде я его не нашел на просторах инета, вот решил доп приз в размере 1000 золотых учредить тому кто первый предложит таковое решение, пока я составляю второе задание. |
| И 500 золотых тому кто наиболее полно опишет историю появления этого уравнения. |
Итак я решил слегка поменять условия конкурса:
1. За каждую решенную задачу участник будет получать 2000 золота и 1 балл в актив борьбы за главный приз (естественно все эти вкусности первому опубликовавшему решение)
2. Для победы участнику необходимо набрать 5 баллов (это позволит растянуть конкурс и увеличить число задач)
3. Для зачета вашего решения необходимо ответить на 1-3 вопроса от меня для выяснения понимания вами вашего же решения.
Итак вторая задача (очень простая на закуску так сказать):
Показать, что для любого целого d существуют такие целые m, n, что:
d=(n-2m+1)/(m^2-n) |
3.Задача
Каждый богатый болельщик, купивший билет на футбол, сел на какое-то место в випложе. Оказалось, что все места в випложе заняты, но каждый болельщик сел не на свое место из-за шутки обычных болельщиков. Милиционер может менять местами людей, если оба сидят не на своих местах и являются соседями. Всегда ли милиционер сможет рассадить недовольных вип-гостей по своим местам? |
| Уточнение к задаче 3: випложе устроено как ОДИН РЯД под козырьком (там еще курить можно, но это к задаче не относится) |
задача 2.
для d = -1 берутся m = 1, n = 0.
для d <> -1 берутся m = d + 2, n = d^2 + 3d + 3
полное решение на бумажке :-D |
для Zilant
Задание решено верно, если есть возможность пришлите скан вашей "бумажки" на ящик kom@sunwaynsk.ru
если нет то придется написать решение здесь (тем более что оно очень короткое). если справитесь то деньги и зачетный бал считай у вас в кармане))) |
мм.. хорошо, добавлю пару шагов)
Немного преобразовав выражение d=(n-2m+1)/(m^2-n), можно получить, что
n = m^2 - (m - 1)^2/(d + 1)
Исходя из того, что n должно получиться целым, подбираем m в зависимости от d. Например, можно взять m = d + 2. Тогда получится n = d^2 +3d + 3.
Случай d = -1 рассматривается отдельно и затруднений не вызывает) |
